Ασυμπτωτικά Βέλτιστη συντήρηση Συστημάτων Αξιοπιστίας και Έλεγχος Αντίστοιχων Αναμονητικών Συστημάτων

Αντικείμενο μελέτης της παρούσας εργασίας αποτελεί ένα Σύστημα Αξιοπιστίας Κ-από-Ν που οι συνιστώσες του καθαυτές είναι K_i-από-N_i συστήματα, i=1,…,N. Συγκεκριμένα, ας θεωρήσουμε ένα σύστημα που αποτελείται από N υποσυστήματα K_i-από-N_i , i=1,…N και λειτουργεί όταν λειτουργούν τουλάχιστον K από αυτά. Οι συνιστώσες όλων των υποσυστημάτων υποτίθενται ίδιες με χρόνους ζωής ισόνομες, ανεξάρτητες, εκθετικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με ρυθμό μ. Το σύστημα συντηρείται από έναν επιδιορθωτή και οι χρόνοι επιδιόρθωσης των συνιστωσών κάθε υποσυστήματος είναι ανεξάρτητες, ισόνομες, εκθετικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με ρυθμό λ.

Για ένα τέτοιο σύστημα όλες οι ενδιαφέρουσες παράμετροι του (π.χ. η αξιοπιστία του) αποτελούν στοχαστικές ανελίξεις των οποίων η κατανομή εξαρτάται από την πολιτική συντήρησης που ακολουθεί ο επιδιορθωτής. Το βασικό πρόβλημα επομένως στην μελέτη τέτοιων συστημάτων είναι η εύρεση και περιγραφή της πολιτικής που βελτιστοποιεί κάποιο μέτρο απόδοσης του συστήματος, εάν βεβαίως μια τέτοια πολιτική συντήρησης (δηλ. ανάθεσης του επιδιορθωτή σε μη λειτουργούσες συνιστώσες) υπάρχει.

Σ’ αυτή την εργασία εξετάζουμε τη βέλτιστη πολιτική ανάθεσης του επιδιορθωτή για συστήματα που αποτελούνται από ιδιαίτερα αξιόπιστες συνιστώσες. Ασχολούμαστε με τα εξής ζητήματα: (Α) Εάν το σύστημα είναι παράλληλο, δηλαδή 1-από-N, περιγράφεται η πολιτική η οποία μεγιστοποιεί τον αναμενόμενο χρόνο λειτουργίας του για ρυθμό βλάβης μ αρκετά μικρό και συντελεστή αποπληθωρισμού β αρκετά μικρό ή αρκετά μεγάλο. Αυτή η πολιτική είναι μοναδική και εξαρτάται μόνο από τη δομή και την κατάσταση του συστήματος. Για το ίδιο σύστημα δίνεται μερική περιγραφή της πολιτικής η οποία μεγιστοποιεί την αξιοπιστία του κάθε χρονική στιγμή t. (Β) Για συστήματα τα οποία είναι συνδεδεμένα εν σειρά (Ν-από-Ν) και οι συνιστώσες είναι ιδιαίτερα αξιόπιστες δίνεται πλήρης περιγραφή της πολιτικής η οποία μεγιστοποιεί την αξιοπιστία του συστήματος σε κάθε χρονική στιγμή t. (Γ) Τα αποτελέσματα αυτά εφαρμόζονται στο πρόβλημα ελέγχου της ροής των πελατών σε δίκτυα παράλληλων ουρών, με πολλούς επεξεργαστές όταν ο μέσος χρόνος μεταξύ των αφίξεων (υποτίθενται Poisson) είναι μεγάλος, καθώς και στο “δυϊκό” του, δηλαδή στο πρόβλημα ανάθεσης ενός μοναδικού επεξεργαστή σε μια από πολλές παράλληλες ουρές όταν ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης είναι μεγάλος. (Δ) Επίσης κατασκευάζονται τα σχέδια συναρμολόγησης συστημάτων συνδεδεμένα εν σειρά ή εν παραλλήλω που μεγιστοποιούν την αξιοπιστία του συστήματος σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή t, όταν οι συνιστώσες είναι ιδιαίτερα αξιόπιστες και συζητείται το ανάλογο πρόβλημα του σχεδιασμού του μεγέθους των buffers στα αντίστοιχα προβλήματα ελέγχου αναμονητικών δικτύων. (Ε) Τέλος, συζητείται το γενικό πρόβλημα ανάθεσης του επιδιορθωτή για οποιοδήποτε σύστημα Κ-από-Ν και υποδεικνύονται οι δυσκολίες του.

Περιεχόμενα

1. Εισαγωγή